LICEO GINNASIO
"M.GIOIA" PIACENZA
Programmazione del modulo di compresenza
FILOSOFIA-MATEMATICA
A/S 2001-2002
Classe 3^ liceo scientifico
sez. A
Compresenza: 1 ora settimanale per il
1° quadrimestre, tot. 17 ore circa.
TITOLO: "Dall'infinito agli infiniti",
dalla matematica alle matematiche attraverso il pensiero (non solo) filosofico.
Finalità
Le ragioni della scelta di questo percorso consistono innanzitutto
nell'esigenza di connotare fortemente la specificità scientifica nella
dimensione della formazione liceale, vale a dire della riflessione
epistemologica e filosofica sui saperi scientifici, oltreché
nell'individuare tematiche atte a stimolare
l'interesse delle ragazze e dei ragazzi verso contesti disciplinari spesso avvertiti come astratti,
lontani e non rilevanti nella propria esistenza individuale. Lo studio della
matematica può forse acquisire nuovo spessore e
significato se svolto in una dimensione storico-problematica che sappia recuperare la domanda e l'orizzonte culturale entro cui collocare le risposte e soluzioni
matematiche. Abbiamo scelto la questione
dell'infinito che, a partire da alcuni nodi problematici
posti dalla filosofia e matematica antiche, investe problematicamente tutta la
storia del pensiero filosofico e scientifico occidentale, per trovare, almeno
per certi suoi aspetti, una forma rigorosa soltanto nella matematica
contemporanea. Tale specifico problema ci permette, poi, di mostrare come
l'idea di conoscenza e verità assoluta sia illusoria anche nella conoscenza matematica
che arriva a pensarsi come sistema incompleto e assiomatico ove ci devono
essere verità non dimostrabili (trasferendo e riformulando nella matematica
l'argomento kantiano per cui la completezza della ragione conduce a idee trascendentali che una serie
di antinomie rivela essere pure illusioni). Così il "pensiero forte"
di fondazione della matematica (Cantor, Russell) è entrato in crisi per lasciare spazio alla
moderna concezione matematica di Bourbaki che si
accontenta di soluzioni limitate, che si caratterizza per la consapevolezza
delle proprie limitazioni e il rifiuto di metafisiche globali.
Da Pitagora a Godel, riflettendo sul problema
dell'infinito, la geometria, l'aritmetica e la logica hanno riorganizzato il
proprio sapere per divenire oggi forme astratte dello spazio, del tempo e della
ragione, del nostro modo di combinare i sensi e il pensiero in una visione del
mondo non solo astrattamente razionale ma anche concretamente comprensibile in quanto la matematica è il linguaggio necessario e sufficiente
per descriverlo.
Ci pare allora di poter ipotizzare come insegnamenti desumibili da tale percorso:
-
che
nessun linguaggio è in grado di arrivare indirettamente alla verità assoluta
mediante i suoi argomenti (Godel) e nessun linguaggio
è in grado di descrivere direttamente la verità assoluta attraverso le sue
definizioni (Tarski)
-
che
è necessario e possibile tener conto dei limiti del pensiero
-
che
oggi la matematica consiste in una gran quantità di sistemi assiomatici spesso
contrapposti e la loro molteplicità mostra appunto la relatività della nozione
di verità matematica (rispetto agli assiomi)
Quanto questa immagine della matematica sia
suscettibile di riflessione filosofica e di traducibilità
in altri contesti culturali e finanche sociali è poi ciò che la rende stimolante, concreta e finalmente viva.
Competenze
·
saper
individuare analogie e differenze tra concetti/modelli/metodi del sapere
scientifico e del sapere filosofico;
·
saper
inquadrare dal punto di vista storico il concetto d'infinito, cogliendone i
diversi significati e la problematicità, oltreché le
soluzioni storicamente e concettualmente rilevanti in ordine alla specifica
questione;
·
saper
definire con rigore alcuni concetti fondamentali: numero reale, insieme denso,
insieme continuo, cardinalità, insieme infinito;
·
saper
utilizzare il lessico e le categorie specifiche della filosofia;
·
saper
analizzare testi filosofici, compiendo su di essi alcune fondamentali
operazioni: individuare e comprendere termini e concetti, enucleare le idee
centrali, rintracciare e definire la tesi, individuare la strategia argomentativa;
·
saper
distinguere e analizzare alcune tipologie argomentative
specifiche: l'inferenza, la deduzione, la dimostrazione, la dimostrazione per assurdo, il paradosso;
·
saper
confrontare risposte/soluzioni differenti allo stesso problema;
·
saper
pensare per modelli diversi e individuare alternative possibili;
·
saper
cogliere, infine, oltrechè l’aspetto problematico del
concetto d’infinito, anche la sua fecondità intellettuale nello sviluppo della
scienza, in quanto atteggiamento -finanche ludico- del porsi problemi e cercare
di risolverli attraverso modalità diverse.
1° fase: motivazionale, situazione stimolo
per rompere le certezze consolidate
e suscitare il problema:
-
alcune
letture esemplificative (i racconti di Borges: La
biblioteca di Babele, Il libro di sabbia)
-
proiezione
di diapositive di varie immagini raffiguranti diverse rappresentazioni, concettualizzazioni, espressioni dell’infinito
-
brain storming
e discussione guidata
2° fase: alle radici del
concetto:
-
l'apeiron di Anassimandro come
infinito illimitato e indistinto (analisi del frammento). “Fantasioso” commento
al frammento: l’entropia.
-
la
concezione negativa dell’infinito: i Pitagorici e la scoperta delle grandezze
incommensurabili. Numeri razionali e irrazionali.
-
Infinito potenziale e infinito attuale: lettura di brevi testi e
discussione sull’infinito potenziale in Leopardi, l’infinito attuale in Galileo e in Hegel, successioni di numeri e successioni di punti.
Infinito e nulla: lo zero (lettura da R. Kaplan, Zero,
storia di una cifra, ed Rizzoli,
cap.III, pg.47-56)
3° fase: problematicità del
concetto d'infinito nella storia del pensiero:
-
il
paradosso: strategia argomentativa, funzione
conoscitiva
-
Zenone
e i paradossi dell'infinito (lettura e analisi dei testi), in particolare
elaborazione e riflessione del paradosso di Achille e
della tartaruga attraverso la lettura di: L. Carroll, What the tortoise said to
Achilles, in Mind,
1895, L. Borges, La
perpetua corsa di Achille e della tartaruga e Metempsicosi della
tartaruga in Discussione, 1932; P. Odifreddi,
E mi sovvien
l’eterno Zenone, in L’infinito, quaderno de “Le scienze, n°21, maggio 2001
-
Aristotele
e la negazione dell'infinito attuale (lettura e analisi dei testi)
-
la
risposta matematica: i metodi di Eudosso e Archimede,
successioni/progressioni, il concetto di serie come somma infinita.
-
Cantor
e la teoria degli insiemi: confronto di cardinalità
tra insiemi (numerici e geometrici), costruzione di insieme
delle parti come generatore di insiemi infiniti di cardinalità
crescente. Gli insiemi infiniti, cardinali transfiniti
-
altri
paradossi: Russell e la crisi/ristrutturazione della
teoria degli insiemi da cui nacque il sistema assiomatico
4° fase: proprietà degli infiniti
-
Continuo,
denso, discreto
-
Continuità
della retta, definizione di numero reale
5° fase: conclusione
-
la
ragione consistente ma incompleta (il teorema di Godel),
-
la
verità come concetto problematico (dal paradosso del mentitore alla teoria
della verità di Tarski).
-
i
paradossi nella matematica contemporanea.
VERIFICA FINALE
-
AAVV, L’infinito, quaderno de Le scienze, anno IV,
n° 21, maggio 2001
-
J.L. Borges,
Opere, 2 voll., Mondadori,
Milano, 1984-85
-
N. Bourbaki, Elementi di storia della matematica, Feltrinelli,
Milano,1963
-
M.L. Dalla Chiara, G.Toraldo di Francia, Introduzione alla filosofia della
scienza, Laterza, Bari, 1999
-
P.
Davies, Sull'orlo
dell'infinito, Mondadori, Milano, 2000
-
R.
Kaplan, Zero, storia di una cifra, Rizzoli, Milano, 1999
-
L. Lombardo Radice, L’infinito, Editori Riuniti, Roma, 1981
-
L- lombardo Radice, L.
Mancini Proia, Il metodo matematico, ed. Il
Principato, Milano, voll. 1, 2, 3.
-
G.
Micheli,
Infinito, in Enciclopedia Einaudi, vol.7°, Torino, 1979
-
T.
Regge, Infinito, Mondatori, Milano,1996
-
B. Russel, Introduzione alla filosofia matematica, Longanesi,
Milano,1962
-
L.
Russo, La rivoluzione dimenticata, Feltrinelli,
Milano, 2001
-
A.
Sani, Infinito,
La Nuova Italia, Firenze, 1998
-
P. Zellini, Breve storia dell’infinito, Adelphi,
Milano, 1980